Niniejszy skrypt zawiera większość zagadnień, które stanowiły w latach dziewięćdziesiątych trzon wykładu przedmiotu matematyczne metody fizyki dla studentów III roku kierunku fizyka techniczna na Wydziale Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH. W skrypcie omówione są: równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu, równanie własne operatora różniczkowego drugiego rzędu oraz podstawy równań całkowych i funkcji Greena. Materiał zawarty w pierwszych dwóch, dość ogólnie potraktowanych hasłach (i rozdziałach), jest potraktowany bardziej szczegółowo i aplikacyjnie w trzecim rozdziale, traktującym o wielomianach Legendre’a i funkcjach Bessela. Rozdział ten zawiera kilka przykładów zastosowania tych funkcji specjalnych do opisu konkretnych problemów fizyki. Trzecie wydanie zostało dość znacząco rozszerzone. Pojawił się między innymi nowy rozdział – podstawy rachunku wariacyjnego, równie mocno ukierunkowany na potrzeby studentów, którzy bezpośrednio po tym wykładzie realizują zwykle kurs podstaw fizyki teoretycznej.
- Spis treści
-
Przedmowa (skrócona) do pierwszego wydania A.D. 1994 . . . . . . . . . v
Przedmowa (skrócona) do drugiego wydania A. D. 2004 . . . . . . . . . . vi
Przedmowa do trzeciego wydania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
1 Funkcje zmiennej zespolonej 1
1.1 Liczby zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Algebra liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Wzór de Moivre’a; liczby zespolone i wzory trygonometryczne . . . . . . . . . . 7
1.3 Pojęcia podstawowe, definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Funkcja zmiennej zespolonej – podstawowe definicje . . . . . 10
1.4 Proste przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Funkcje wieloznaczne. Pierwiastek stopnia n na płaszczyźnie zespolonej; logarytm zespolony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Warunki Cauchy’ego-Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.1 Konsekwencje warunków Cauchy’ego-Riemanna . . . . . . . . 18
1.6 Całka funkcji zmiennej zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Twierdzenie całkowe Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.1 Twierdzenie całkowe Cauchy’ego – konsekwencje . . . . . . . 26
1.8 Wzór całkowy Cauchy’ego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8.1 Wzór całkowy Cauchy’ego – konsekwencje . . . . . . . . . . . 31
1.8.2 Twierdzenie Morery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.3 Zasada minimum i maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.8.4 Twierdzenie Liouville’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9 Szeregi funkcji analitycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.1 Szereg funkcyjny, zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.2 Szereg Taylora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.9.3 Szeregi Taylora funkcji elementarnych . . . . . . . . . . . . . 41
1.9.4 Szereg Laurenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.9.5 Zera funkcji analitycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9.6 Odosobnione punkty osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.10 Residuum; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.10.1 Obliczanie residuów w osobliwościach biegunowych . . . . . . 51
1.11 Rachunek residuów – zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.11.1 Obliczanie całek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.11.2 Wyznaczanie sum szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.11.3 Rozkład funkcji meromorficznej na ułamki proste . . . . . . . 66
1.12 Odwzorowania konforemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.12.1 Odwzorowania konforemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.12.2 Homografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.12.3 Siatka konforemnie równoważna . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.12.4 Potencjał zespolony wektorowego pola płaskiego . . . . . . . 80
1.12.5 Wektorowe pole płaskie i odwzorowania konforemne . . . . . 84
1.12.6 Odwzorowania konforemne w hydrodynamice . . . . . . . . . 88
1.13 Gamma Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.13.1 Podstawowe własności Γ(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.13.2 Reprezentacja całkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.13.3 Funkcje niekompletne – γ(a, x) i Γ(a, x) . . . . . . . . . . . . 109
1.13.4 Funkcja beta Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.13.5 Trochę fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.14 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2 Równania różniczkowe drugiego rzędu 117
2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2 Metoda separacji zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.3 Punkty osobliwe równania różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.4 Podstawowe równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5 Metoda Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.6 Równania klasy Fuchsa – uwagi ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.7 Równania klasy Fuchsa – formy kanoniczne . . . . . . . . . . . . . . 140
2.8 Drugie rozwiązanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.8.1 Metoda wariacji parametru λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.8.2 Drugie rozwiązanie – Wrońskian . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.9 Funkcja konfluentna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.9.1 Równanie Bessela a równanie konfluentne . . . . . . . . . . . 160
2.9.2 Reprezentacja całkowa funkcji konfluentnej; Asymptotyka w nieskończoności . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.10 Równanie niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.10.1 Metoda wariacji parametrów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.10.2 Metoda funkcji Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.9.6 Odosobnione punkty osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.10 Residuum; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.10.1 Obliczanie residuów w osobliwościach biegunowych . . . . . . 51
1.11 Rachunek residuów – zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.11.1 Obliczanie całek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.11.2 Wyznaczanie sum szeregów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.11.3 Rozkład funkcji meromorficznej na ułamki proste . . . . . . . 66
1.12 Odwzorowania konforemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.12.1 Odwzorowania konforemne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.12.2 Homografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.12.3 Siatka konforemnie równoważna . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.12.4 Potencjał zespolony wektorowego pola płaskiego . . . . . . . 80
1.12.5 Wektorowe pole płaskie i odwzorowania konforemne . . . . . 84
1.12.6 Odwzorowania konforemne w hydrodynamice . . . . . . . . . 88
1.13 Gamma Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.13.1 Podstawowe własności Γ(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.13.2 Reprezentacja całkowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.13.3 Funkcje niekompletne – γ(a, x) i Γ(a, x) . . . . . . . . . . . . 109
1.13.4 Funkcja beta Eulera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.13.5 Trochę fizyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.14 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2 Równania różniczkowe drugiego rzędu 117
2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.2 Metoda separacji zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.3 Punkty osobliwe równania różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.4 Podstawowe równania różniczkowe zwyczajne drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5 Metoda Frobeniusa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.6 Równania klasy Fuchsa – uwagi ogólne . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.7 Równania klasy Fuchsa – formy kanoniczne . . . . . . . . . . . . . . 140
2.8 Drugie rozwiązanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.8.1 Metoda wariacji parametru λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.8.2 Drugie rozwiązanie – Wrońskian . . . . . . . . . . . . . . . . 154
2.9 Funkcja konfluentna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.9.1 Równanie Bessela a równanie konfluentne . . . . . . . . . . . 160
2.9.2 Reprezentacja całkowa funkcji konfluentnej; Asymptotyka w nieskończoności . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.10 Równanie niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.10.1 Metoda wariacji parametrów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.10.2 Metoda funkcji Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.11 Przykłady zastosowań: stacjonarne równanie Schr¨odingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.12 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3 Zagadnienie Sturma-Liouville’a 183
3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.2 Równanie własne operatora różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.3 Operatory hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.4 Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.5 Metoda ortogonalizacji Schmidta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.6 Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych w problemie S-L . . . . . . 201
3.7 Wzór Rodriguesa. Funkcje tworzące. Reprezentacje całkowe . . . . . 208
3.8 Ortogonalne i zupełne zbiory funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
3.9 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4 Legendre, Bessel i trochę fizyki 221
4.1 Wielomiany Legendre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.1.1 Potencjały multipoli elektrycznych . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.1.2 Funkcja tworząca i relacje rekurencyjne . . . . . . . . . . . . 224
4.1.3 Rozwijanie funkcji w szereg wielomianów Legendre’a . . . . . 230
4.1.4 Drugie rozwiązanie równania Legendre’a . . . . . . . . . . . . 235
4.2 Równanie Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.2.1 Funkcja tworząca; relacje rekurencyjne . . . . . . . . . . . . . 244
4.2.2 Równanie falowe w symetrii cylindrycznej . . . . . . . . . . . 248
4.2.3 Problem własny i równanie Bessela . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.2.4 Równania redukowalne do równania Bessela . . . . . . . . . . 257
4.2.5 Sferyczne funkcje Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.3 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5 Wstęp do równań całkowych. Funkcje Greena 267
5.1 Typy równań całkowych; Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . 268
5.2 Szereg Neumanna – iteracyjna metoda rozwiązywania równań całkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.3 Jądra iterowane; rezolwenta równania całkowego . . . . . . . . . . . 277
5.4 Równania Fredholma dla specjalnych typów jąder . . . . . . . . . . . 281
5.4.1 Jądra separowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.4.2 Wartości i funkcje własne równania jednorodnego . . . . . . . 284
5.4.3 Jądra symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.5 Funkcja Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.5.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.5.2 Funkcja Greena – jeden wymiar . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.5.3 Jednowymiarowa funkcja Greena a problem własny . . . . . . 303
2.11 Przykłady zastosowań: stacjonarne równanie Schr¨odingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.12 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3 Zagadnienie Sturma-Liouville’a 183
3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.2 Równanie własne operatora różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.3 Operatory hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.4 Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.5 Metoda ortogonalizacji Schmidta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.6 Klasyfikacja wielomianów ortogonalnych w problemie S-L . . . . . . 201
3.7 Wzór Rodriguesa. Funkcje tworzące. Reprezentacje całkowe . . . . . 208
3.8 Ortogonalne i zupełne zbiory funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
3.9 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4 Legendre, Bessel i trochę fizyki 221
4.1 Wielomiany Legendre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.1.1 Potencjały multipoli elektrycznych . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.1.2 Funkcja tworząca i relacje rekurencyjne . . . . . . . . . . . . 224
4.1.3 Rozwijanie funkcji w szereg wielomianów Legendre’a . . . . . 230
4.1.4 Drugie rozwiązanie równania Legendre’a . . . . . . . . . . . . 235
4.2 Równanie Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.2.1 Funkcja tworząca; relacje rekurencyjne . . . . . . . . . . . . . 244
4.2.2 Równanie falowe w symetrii cylindrycznej . . . . . . . . . . . 248
4.2.3 Problem własny i równanie Bessela . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.2.4 Równania redukowalne do równania Bessela . . . . . . . . . . 257
4.2.5 Sferyczne funkcje Bessela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.3 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5 Wstęp do równań całkowych. Funkcje Greena 267
5.1 Typy równań całkowych; Pojęcia podstawowe . . . . . . . . . . . . . 268
5.2 Szereg Neumanna – iteracyjna metoda rozwiązywania równań całkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5.3 Jądra iterowane; rezolwenta równania całkowego . . . . . . . . . . . 277
5.4 Równania Fredholma dla specjalnych typów jąder . . . . . . . . . . . 281
5.4.1 Jądra separowalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.4.2 Wartości i funkcje własne równania jednorodnego . . . . . . . 284
5.4.3 Jądra symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.5 Funkcja Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.5.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.5.2 Funkcja Greena – jeden wymiar . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.5.3 Jednowymiarowa funkcja Greena a problem własny . . . . . . 303
5.5.4 Funkcja Greena dla 2– i 3–wymiarowego operatora Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.5.5 Funkcje Greena zależne od czasu . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.6 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
6 Rachunek wariacyjny 341
6.1 Typowy problem wariacyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.2 Rachunek wariacyjny – jedna zmienna niezależna i jedna zmienna zależna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
6.3 Jedna zmienna niezależna i kilka zmiennych zależnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
6.4 Kilka zmiennych niezależnych i jedna zmienna zależna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
6.5 Kilka zmiennych niezależnych i kilka zmiennych zależnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.6 Mnożniki Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.6.1 Szukanie ekstremum w obecności więzów . . . . . . . . . . . . 356
6.6.2 Mnożniki Lagrange’a w kontekście wariacyjnym . . . . . . . . 360
6.7 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
7 Uzupełnienia 365
A Kilka słów o przestrzeniach wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . 365
A.1 Podstawowe definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
A.2 Przestrzenie wektorowe i rachunek macierzowy . . . . . . . . 369
A.3 Operatory w przestrzeni wektorowej . . . . . . . . . . . . . . 370
A.4 Operator sprzężony i samosprzężony . . . . . . . . . . . . . . 371
A.5 Przestrzenie funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
B Kilka słów o układach współrzędnych krzywoliniowych . . . . . . . . 375
B.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
B.2 Analiza wektorowa w układach współrzędnych krzywoliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
B.3 Układy współrzędnych sferycznych i cylindrycznych . . . . . 383