Przejdź do treści

Banery wysuwane

granatowo-niebieska okładka liternicza, w tle wzory matematyczne
ALGEBRA ABSTRAKCYJNA

Kategoria produktu
Nauki matematyczne » Algebra
ISBN
978-83-66364-13-4
Typ publikacji
monografia
Format
B5
Oprawa
twarda
Liczba stron
278
Rok wydania
2019
Opis

Wydanie niniejszej książki związane jest z przyznaniem panu profesorowi A.P. Wojdzie w 2017 roku Nagrody im. A. Hoborskiego, matematyka, pierwszego rektora Akademii Górniczej. Publikacja może służyć jako podręcznik dla studentów roku drugiego i następnych kierunku matematyka, gdyż jej autor od wielu lat wykłada algebrę abstrakcyjną na Wydziale Matematyki Stosowanej AGH. W swojej monografii zgromadził materiał realizowany w ramach przedmiotów "algebra" oraz "algebra 2".

Spis treści


Wstęp 11
1. Arytmetyka liczb całkowitych  13
1.1. Liczby pierwsze 13
1.2. Algorytm Euklidesa  18
1.3. Zadania  21
2. Grupy  23
2.1. Funkcja φ Eulera   27
2.2. Podgrupy  31
2.3. Homomorfizmy grup, grupy izomorficzne   32
2.4. Grupy cykliczne  34
2.5. Twierdzenie Cayleya   38
2.6. Twierdzenie Lagrange’a   39
2.7. Wnioski z twierdzenia Lagrange’a  41
2.8. Grupa dihedralna   43
2.9. Podgrupy normalne  44
2.10. Podstawowe twierdzenie o izomorfizmie grup   47
2.11. Grupy alternujące  49
2.12. Zadania  50
3. Arytmetyka modularna   53
3.1. Twierdzenie Eulera i małe twierdzenie Fermata  53
3.2. Chińskie twierdzenie o resztach  54
3.3. Residua kwadratowe  56
3.4. Zasady kryptografii z kluczem publicznym   58
3.4.1. Metoda Rabina  60
3.4.2. Metoda RSA   61
3.5. Zadania  63
4. Działanie grupy na zbiorze  65
4.1. Lemat Burnside’a 69
4.2. Grupa obrotów sześcianu 73
4.3. Grupy i kolorowania – metoda Pólyi  74
4.4. Indeksy cyklowe i twierdzenia Pólyi   77
4.5. Obliczania liczby grafów   83
4.6. Zadania  86
5. Pierścienie 89
5.1. Przykłady pierścieni  90
5.2. Podpierścienie   91
5.3. Ideały i pierścienie ilorazowe   91
5.4. Ideały i pierścienie główne  93
5.5. Homomorfizmy pierścieni   94
5.6. Podzielność w pierścieniach   96
5.7. Charakterystyka pierścienia  99
5.8. Zadania 100
6. Pierścienie Gaussa 103
6.1. Pierścienie wielomianów   105
6.2. Pierścienie główne   108
6.3. Pierścienie euklidesowe  110
6.4. Algorytm Euklidesa w pierścieniu euklidesowym 112
6.5. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki  112
6.6. Ciało ułamków pierścienia całkowitego   114
6.7. Wielomiany nad pierścieniami Gaussa 116
6.8. Twierdzenie Gaussa  119
6.9. Wielomiany nierozkładalne 120
6.10. Zadania  122
7. Wielomiany wielu zmiennych   123
7.1. Wielomiany symetryczne 123
7.2. Twierdzenie Wilsona  125
7.3. Podstawowe twierdzenie o wielomianach symetrycznych 126
7.4. Zadania   130
8. Rozszerzenia ciał  131
8.1. Ciało rozkładu wielomianu  134
8.2. Zasadnicze twierdzenie algebry  136
8.3. Rozszerzenia o skończoną liczbę elementów   139
8.4. Rozszerzenia skończone i algebraiczne   140
8.5. Rozszerzenia przestępne  147
8.6. Rozszerzenia izomorfizmów pierścieni i ciał 150
8.7. Rząd ciała skończonego  154
8.8. Pochodne wielomianów i krotności pierwiastków 155
8.9. Ciało Galois rzędu pn  156
8.10. Liczby konstruowalne   160
8.11. Zadania  165
9. Skończone grupy abelowe  169
9.1. Twierdzenie Cauchy’ego dla skończonych grup abelowych  171
9.2. Twierdzenie o skończonych grupach abelowych  171
9.3. Zadania 178
10. Twierdzenia Sylowa  181
10.1. Pierwsze twierdzenie Sylowa   181
10.2. Wnioski z pierwszego twierdzenia Sylowa  183
10.3. Sprzężenie podgrupy  185
10.4. Twierdzenie o rozkładzie na orbity 188
10.5. Drugie twierdzenie Sylowa  191
10.6. Wnioski z drugiego twierdzenia Sylowa   192
10.7. Trzecie twierdzenie Sylowa  192
10.8. Wnioski z trzeciego twierdzenia Sylowa  193
10.9. Zadania  194
11. Grupy rozwiązalne   199
11.1. Komutatory i komutanty  201
11.2. Twierdzenia o izomorfizmie grup 204
11.3. Warunek konieczny i wystarczający rozwiązalności grupy  206
11.4. Zadania  209
12.1. Grupa Galois rozszerzenia ciała   209
12.2. Wielomiany i ciała rozdzielcze   217
12.3. Twierdzenie o elemencie prymitywnym  222
12.4. Twierdzenie Dedekinda–Artina  224
12.5. Rozszerzenia Galois   230
12.5.1. Wnioski z twierdzenia 12.25  233
12.5.2. Zasadnicze twierdzenie teorii Galois  236
12.6. Rozwiązalność równań algebraicznych   241
12.7. Zadania 249
13. ́Evariste Galois   251
14. Wskazówki do wybranych zadań  261
14.1. Rozdział 4   261
14.2. Rozdział 5  261
14.3. Rozdział 8   262
14.4. Rozdział 9  262
14.5. Rozdział 10   264
14.6. Rozdział 11 265
14.7. Rozdział 12  266
15. Oznaczenia 269
Bibliografia   271
Skorowidz  273

Spis treści
Cena
25,00 zł