Książka powstała z myślą o studentach II roku informatyki stosowanej oraz automatyki AGH, jako pomoc dydaktyczna do laboratoriów z metod numerycznych prowadzonych przez autorów. Stanowi subiektywny wybór problemów numerycznych, z jakimi można się zetknąć w praktyce obliczeniowej. Należy zatem podkreślić, że książka w założeniu ma być pomocą w praktycznej realizacji algorytmów numerycznych, zaś podstawą kursu metod numerycznych jest wykład, szerzej omawiający problematykę metod numerycznych.
Poszczególne rozdziały zawierają omówienie danego problemu od strony teoretycznej z przypomnieniem podstawowych definicji i twierdzeń, których znajomość jest konieczna do zrozumienia omawianych metod. Pominięto jednak skomplikowaną teorię matematyczną, natomiast postawiono nacisk na omówienie procedur i algorytmów ogólnego zastosowania. Aby ułatwić zrozumienie opisanych zagadnień, przedstawiono rozwiązania przykładowych zadań numerycznych. Zamieszczone zostały również zadania do samodzielnego wykonania.
Autorzy dodatkowo przedstawiają ważniejsze pojęcia w angielskim tłumaczeniu, aby umożliwić studentom ich rozpoznawanie i przyswojenie.
- Spis treści
-
Wstęp 5
1. Podstawy metod numerycznych 7
1.1. Błędy numeryczne 7
1.2. Zapis zmiennopozycyjny 9
1.3. Uwarunkowanie zadań, stabilność numeryczna algorytmów 13
1.4. Przykład 14
1.5. Zadania 15
2. Interpolacja 16
2.1. Istota interpolacji 16
2.2. Interpolacja liniowa 17
2.3. Interpolacja wielomianowa 18
2.3.1. Interpolacja jednomianami 18
2.3.2. Interpolacyjny wzór Lagrange’a 19
2.3.3. Interpolacja Newtona 21
2.4. Interpolacja funkcjami sklejanymi 23
2.4.1. Interpolacja funkcjami sklejanymi stopnia pierwszego 23
2.4.2. Interpolacja funkcjami sklejanymi stopnia trzeciego 24
2.5. Przykład 28
2.6. Zadania 31
3. Aproksymacja 32
3.1. Wprowadzenie 32
3.2. Aproksymacja wielomianowa 35
3.2.1. Aproksymacja wielomianowa z bazą jednomianów 35
3.2.2. Dobór stopnia funkcji aproksymującej 36
3.2.3. Aproksymacja wielomianami ortogonalnymi 36
3.2.4. Aproksymacja trygonometryczna 39
3.3. Przykłady 40
3.4. Zadania 43
4. Układy równań liniowych 44
4.1. Wprowadzenie 44
4.2. Uwarunkowanie zadania – analiza błędów 44
4.3. Metody dokładne 46
4.3.1. Metoda Cramera 46
4.3.2. Eliminacja Gaussa 47
4.3.3. Eliminacja Gaussa z wyborem elementu głównego 50
4.3.4. Eliminacja Jordana 50
4.3.5. Metoda rozkładu LU 51
4.4. Metody iteracyjne 56
4.4.1. Metoda Jacobiego 56
4.4.2. Metoda Gaussa–Seidla 58
4.4.3. Zbieżność metod Jacobiego i Gaussa-Seidla 60
4.4.4. Metoda SOR 60
4.5. Przykłady 61
4.6. Zadania 69
5. Rozwiązywanie równań nieliniowych 71
5.1. Wprowadzenie 71
5.2. Metoda bisekcji (połowienia) 72
5.3. Metoda stycznych (Newtona) 74
5.4. Regula falsi 76
5.5. Metoda siecznych 78
5.6. Przykład 80
5.7. Zadania 84
6. Całkowanie numeryczne 85
6.1. Wprowadzenie 85
6.2. Kwadratury Newtona-Cotesa 86
6.2.1. Kwadratury proste 87
6.2.1.1. Wzór trapezów 87
6.2.1.2. Wzór Simpsona 88
6.2.2. Kwadratury złożone Newtona-Cotesa 89
6.3. Metoda Romberga 91
6.4. Inne metody całkowania numerycznego 92
6.5. Przykłady 93
6.6. Zadania 96
7. Równania różniczkowe zwyczajne 97
7.1. Wprowadzenie 97
7.2. Metody jednokrokowe 98
7.2.1. Metoda Eulera 98
7.2.2. Ulepszona metoda Eulera 99
7.2.3. Metoda Eulera-Cauchy’ego 99
7.2.4. Metoda Rungego-Kutty czwartego rzędu 100
7.3. Metody wielokrokowe 102
7.3.1. Metoda Adamsa-Bashfortha 102
7.3.2. Metoda Adamsa-Moultona 104
7.4. Przykłady 105
7.5. Zadania 107
Bibliografia 108